•  N es el sistema de numeración considerado (p.ej. decimal, binario, etc.)
• S son los símbolos permitidos en el sistema. En el caso del sistema decimal son {0,1...9}; en
• el binario son {0,1}; en el octal son {0,1...7}; en el hexadecimal son {0,1...9,A,B,C,D,E,F}
• R son las reglas que nos indican qué números son válidos en el sistema, y cuáles no.

Almacenamiento de direcciones de memoria

Supongamos que la memoria utilizada tiene un tamaño de 4 Gigabytes y por tanto sus direcciones se representan con 32 bits. Las direcciones de memoria son números naturales en el rango [0, 232 - 1]. Pero este número natural es susceptible de ser almacenado él mismo en memoria. Es decir, se puede almacenar la representación binaria de una dirección de memoria en la propia memoria. Al tener un tamaño de 32 bits o 4 bytes, se utilizan para ello cuatro posiciones de memoria consecutivas.
Una dirección de memoria, por tanto, se puede considerar de dos formas posibles: o como una dirección de una celda de memoria, o como un número natural susceptible de ser manipulado como tal. Supóngase que en la posición de memoria 0x00000100 se encuentra almacenado el número entero de 32 bits 0x0153F2AB y que en la posición 0x00000200 se debe almacenar la dirección de dicho número. Para ello se almacena, a partir de la posición 0x00000200 el número 0x00000100 utilizando los cuatro bytes a partir de esa posición y se hace en orden creciente de significación al utilizar el esquema little endian. El resultado se ilustra en la figura 3.15.

Figura 3.15. Dirección de memoria almacenada como número natural

Tras almacenar la dirección de memoria de un dato en la posición 0x00000200, ¿es posible obtener de nuevo el número 0x0153F2AB? La respuesta es afirmativa, pero no de forma inmediata, se debe obtener de memoria primero los cuatro bytes almacenados en la posición 0x00000200 y utilizarlos como una dirección de memoria de donde obtener los cuatro bytes contenidos en la posición 0x00000100. El acceso a este último dato se ha realizado de forma indirecta, es decir, mediante un acceso previo a memoria para obtener la dirección del dato final. Utilizando la notación funcional de operaciones sobre memoria, el acceso al dato se logra ejecutando Lectura(Lectura(0x00000200)).
A este mecanismo de acceso a un dato en memoria a través de su dirección a su vez almacenada en otra posición se le conoce con el nombre de “indirección”. En el ejemplo anterior se dice que el dato almacenado en la posición 0x00000200 apunta al dato 0x0153F2AB. La figura 3.16 ilustra esta situación.

Figura 3.16. Una posición de memoria “apunta a” otra

El mecanismo de indirección se puede encadenar de manera arbitrariamente larga. La dirección que contiene la dirección de un dato, a su vez se puede almacenar de nuevo en memoria. En tal caso, para acceder al dato final se requieren dos accesos a memoria en lugar de uno. Por tanto, es posible almacenar las direcciones tal que haya que seguir una cadena de indirecciones para en última instancia acceder al dato. La figura 3.17 muestra una distribución de datos tal que la posición 0x00000100 contiene “la dirección de memoria de la dirección de memoria de la dirección de memoria del dato”.

Figura 3.17. Indirección múltiple para acceder a un dato

De la técnica de indirección se deriva que en memoria no sólo se almacenan datos (naturales, enteros, coma flotante, letras, etc.) sino también direcciones de memoria. Todos estos datos, a efectos de almacenamiento y su manipulación por el procesador, no son más que una secuencia de bytes en diferentes celdas. El que una secuencia de bits determinada se interprete como un número o como una dirección queda totalmente bajo el control del programador. En los programas escritos en ensamblador es preciso saber qué dato está almacenado en qué posición de memoria pero el propio lenguaje no aporta mecanismo alguno que compruebe que se el acceso se hace de forma correcta. Si por error en un programa se obtiene un dato de 32 bits de memoria y se interpreta como una dirección cuando en realidad es un dato numérico o viceversa, lo más probable es que el programa termine de forma brusca o con resultados incorrectos.

3.6.1. Ejemplos de indirección

El almacenar una dirección en memoria no parece a primera vista un mecanismo útil, pues esta cumple un único papel que es el de apuntar al dato en cuestión. Sin embargo, esta técnica se utiliza con frecuencia en la ejecución de programas.

Ejemplo 3.1. Almacenamiento de una tabla de strings

Supóngase que se dispone de un conjunto de n strings almacenados en otras tantas posiciones de memoria. Aunque las letras de cada string están almacenadas en posiciones consecutivas, los strings no están uno a continuación de otro sino en zonas de memoria dispersas. Se quiere imprimir estos strings en orden alfabético. El primer paso es ordenar los strings para a continuación imprimir cada uno de ellos por orden.
Para ordenar los strings hay dos opciones, o se manipulan todos los caracteres de cada uno de ellos, o se manipulan sus direcciones de comienzo. Es decir, en lugar de tener los strings ordenados alfabéticamente y almacenados en posiciones consecutivas de memoria, se almacenan por orden las direcciones de memoria de comienzo de cada string y se ordenan en base a las letras que contienen. Esta estructura se ilustra en la figura 3.18.

Figura 3.18. Tabla con direcciones de comienzo de strings

La ordenación los strings se puede realizar sin mover ninguna de las letras en memoria. La tabla resultante contiene en cada uno de sus elementos una indirección a un string, es decir, la dirección en la que se encuentra el string pertinente. Para imprimir los strings en orden alfabético se itera sobre los elementos de la tabla y mediante doble indirección se accede a las letras de cada string.
Ejemplo 3.2. Referencias en el lenguaje Java
El lenguaje de programación Java utiliza el mecanismo de indirección para acceder a los datos almacenados en un objeto. Supóngase que se ha definido una clase con nombre Dato que a su vez contiene un campo de acceso público, entero y con nombre valor. Se ejecuta la siguiente porción de código.

  1

  2

  3

  4

  5

  6

    Dato obj1, obj2;

    obj1 = new Dato();

    obj1.valor = 3;

    obj2 = obj1;

    obj2.valor = 4;

    System.out.println(obj1.valor)

¿Qué valor imprime por pantalla la última línea? El código asigna al campo valor de obj1 el valor 3, a continuación se produce la asignación obj2 = obj1, luego se asigna el valor 4 al campo valor de obj2 y se imprime el mismo campo pero de obj1. Al ejecutar este fragmento de código se imprime el valor 4 por pantalla. La línea que explica este comportamiento es la asignación obj2 = obj1. En Java, todo objeto se manipula a través de una “referencia”. Las variables obj1 y obj2 son referencias y la asignación obj1 = obj2 no transfiere el contenido entero de un objeto a otro, sino que se transfiere el valor de la referencia. Por tanto, al ejecutar esta asignación, obj2 se refiere al mismo objeto que obj1 y por eso la última línea imprime el valor 4.
El mecanismo interno que se utiliza a nivel de lenguaje máquina para representar las referencias está basado en el concepto de indirección. Cuando se crea un objeto se almacenan sus datos en memoria. Cuando un objeto se asigna a una referencia esta pasa a contener la dirección de memoria a partir de la cual está almacenado. La asignación obj2 = obj1 transfiere la dirección de memoria contenida en obj1 al contenido de obj2. Cualquier modificación que se haga a través de la referencia obj1 afecta por tanto al objeto al que apunta obj2 pues ambas referencias apuntan al mismo objeto. La figura 3.19 ilustra cómo se asignan los valores en memoria para este ejemplo.

Figura 3.19. Dos referencias en Java que apuntan al mismo objeto

El objeto está ubicado en una posición arbitraria de memoria (en la figura 3.19 es la posición 0x00000100). En dos posiciones de memoria adicionales se almacenan las referencias obj1 y obj2. La primera de ellas recibe su valor al ejecutarse el constructor de la clase. La segunda recibe el mismo valor cuando se ejecuta la asignación. A partir de este momento, cualquier modificación realizada en el objeto a través de obj1 será visible si se consulta a través de obj2.

Ejemplo 3.3. Doble indirección con referencias en el lenguaje Java

Las referencias en Java se utilizan, por tanto, como indirecciones a memoria. Pero las clases definidas en Java pueden contener en su interior campos que sean referencias a otros objetos. Por ejemplo, si se define una segunda clase Dato2 en cuyo interior existe un campo con nombre c1 de la clase Dato, este campo es una referencia a un objeto. Supóngase que se ejecuta la siguiente porción de código.

  1

  2

  3

  4

    Dato2 obj2;

    obj2 = new Dato2();

    obj2.c1 = new Dato();

    obj2.c1.valor = 4;

En este caso la referencia obj2 apunta a un objeto de la clase Dato2 que a su vez contiene en su interior una referencia a un objeto de la clase Dato. Para ejecutar la última línea en la que se asigna el valor 4 al campo valor es preciso realizar una doble indirección. La referencia obj2 contiene la dirección del objeto de la clase Dato2, y este a su vez contiene en su interior una referencia que contiene la dirección del objeto de la clase Dato. Tras esta doble indirección se asigna el valor 4 a dicho dato. La figura 3.20 muestra el acceso a este dato a través de la doble indirección.

Figura 3.20. Acceso a un dato mediante doble indirección

1.1. SISTEMA DECIMAL

Su origen lo encontramos en la India y fue introducido en España por los árabes. Su base es 10.
Emplea 10 caracteres o dígitos diferentes para indicar una determinada cantidad: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. El valor de cada símbolo depende de su posición dentro de la cantidad a la que pertenece. Veámoslo con un ejemplo:

Si el número contiene decimales:

1.2. SISTEMA BINARIO

Es el sistema digital por excelencia, aunque no el único, debido a su sencillez. Su base es 2
Emplea 2 caracteres: 0 y 1. Estos valores reciben el nombre de bits (dígitos binarios). Así, podemos decir que la cantidad 10011 está formada por 5 bits. Veamos con un ejemplo como se representa este número teniendo en cuenta que el resultado de la expresión polinómica dará su equivalente en el sistema decimal:

1.3. SISTEMA OCTAL

Posee ocho símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Su base es 8.
Este sistema tiene una peculiaridad que lo hace muy interesante y es que la conversión al sistema binario resulta muy sencilla ya que, 8 = 23  . Así, para convertir un número de base 8 a binario se sustituye cada cifra por su equivalente binario en el apartado 1.5. Conversiones se  estudiará esta conversión.

1.4. SISTEMA HEXADECIMAL

Está compuesto por 16 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Su base es 16. Es uno de los sistemas más utilizados en electrónica, ya que además de simplificar la escritura de los números binarios, todos los números del sistema se pueden expresar en cuatro bits binarios al ser 16 = 24. La conversión de un número hexadecimal a uno binario es muy sencilla al igual que en el sistema octal, profundizaremos en ello en el apartado 1.5.

La conversión de hexadecimal a binario simplemente sustituiremos cada carácter por su equivalente en binario, por ejemplo:
69DE16= 0110 1001 1101 11102